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  3. 已知三阶矩阵A满足A3=2E，若B=A2+2A+E，证明B可逆，且求B－1．

已知三阶矩阵A满足A3=2E，若B=A2+2A+E，证明B可逆，且求B－1．

admin2016-11-03  61
问题 已知三阶矩阵A满足A3=2E，若B=A2+2A+E，证明B可逆，且求B－1．
选项
答案由A3=2E得到A3+E=3E，即 (A+E)(A2一A+E)=3E， 故A+E可逆，且 (A+E)－1=(A2一A+E)／3． 于是B=(A+E)2可逆，且 B－1=[(A+E)2]－1=[(A+E)－1]2 =[(A2一A+E)／3]2=(A2一A+E)2／9．
解析 A的元素没有给出，利用可逆矩阵的定义证之．注意到
B=A2+2A+E=(A+E)2，
只需证A+E可逆．
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考研数学一

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