已知三阶矩阵A满足A3=2E，若B=A2+2A+E，证明B可逆，且求B－1．

admin2016-11-03 32

问题已知三阶矩阵A满足A³=2E，若B=A²+2A+E，证明B可逆，且求B^－1．

选项

答案由A³=2E得到A³+E=3E，即 (A+E)(A²一A+E)=3E，故A+E可逆，且 (A+E)^－1=(A²一A+E)／3．于是B=(A+E)²可逆，且 B^－1=[(A+E)²]^－1=[(A+E)^－1]² =[(A²一A+E)／3]²=(A²一A+E)²／9．

解析 A的元素没有给出，利用可逆矩阵的定义证之．注意到
B=A²+2A+E=(A+E)²，
只需证A+E可逆．

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