已知三阶矩阵A满足A3=2E,若B=A2+2A+E,证明B可逆,且求B-1.

admin2016-11-03  30

问题 已知三阶矩阵A满足A3=2E,若B=A2+2A+E,证明B可逆,且求B-1

选项

答案由A3=2E得到A3+E=3E,即 (A+E)(A2一A+E)=3E, 故A+E可逆,且 (A+E)-1=(A2一A+E)/3. 于是B=(A+E)2可逆,且 B-1=[(A+E)2]-1=[(A+E)-1]2 =[(A2一A+E)/3]2=(A2一A+E)2/9.

解析 A的元素没有给出,利用可逆矩阵的定义证之.注意到
B=A2+2A+E=(A+E)2
只需证A+E可逆.
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