设α1，α2，…，αt为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α1，β＋α2，…，β＋αt线性无关．

admin2014-06-11 40

问题设α₁，α₂，…，α_t为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，证明：β，β＋α₁，β＋α₂，…，β＋α_t线性无关．

选项

答案设β，α₁，α₂，…，α_t线性相关，令λβ＋λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_tα_t＝0，因为α₁，α₂，…，α_t为AX＝0的一个基础解系，β不是AX＝0的解，因此A(λβ＋λ₁α₁＋λ₂α₂＋…＋λ_tα_t)＝λ(Aβ)，因为Aβ≠0，所以λ=0，因此β，α₁，α₂，…，α_t线性无关，令kβ＋k₁(β＋α₁)＋k₂(β＋α₂)＋…＋k_t(β＋α_t)＝0，即(k＋k₁＋…＋k_t)β＋k₁α₁＋…＋k_tα_t＝0， [*]

解析

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