设在[1,+∞)上，f"(x)＜0,f(1)=2,f’(1)=－3,证明：f(x)=0在(1,+∞）内只有一个实根。

admin2021-07-15 30

问题设在[1,+∞)上，f"(x)＜0,f(1)=2,f’(1)=－3,证明：f(x)=0在(1,+∞）内只有一个实根。

选项

答案零点唯一性问题，只要证明零点存在和函数单调即可。在[1,+∞),f"(x)＜0,f’(x)单调减少，f’(x)＜f’(1)=－3＜0,所以f(x)单调减少。又f(1)=2＞0,f(x)=f(1)+f’(ξ)(x－1)＜2+(－3)(x－1)=5－3x,取x=[*],则 [*]＜0,由零点定理可知，f(x)=0在[*]内至少有一个实根。综上所述，f(x)=0在(1,+∞)内至少有一个实根。

解析

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