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设在[1,+∞)上,f"(x)<0,f(1)=2,f’(1)=-3,证明:f(x)=0在(1,+∞)内只有一个实根。
设在[1,+∞)上,f"(x)<0,f(1)=2,f’(1)=-3,证明:f(x)=0在(1,+∞)内只有一个实根。
admin
2021-07-15
28
问题
设在[1,+∞)上,f"(x)<0,f(1)=2,f’(1)=-3,证明:f(x)=0在(1,+∞)内只有一个实根。
选项
答案
零点唯一性问题,只要证明零点存在和函数单调即可。 在[1,+∞),f"(x)<0,f’(x)单调减少,f’(x)<f’(1)=-3<0,所以f(x)单调减少。 又f(1)=2>0,f(x)=f(1)+f’(ξ)(x-1)<2+(-3)(x-1)=5-3x,取x=[*],则 [*]<0,由零点定理可知,f(x)=0在[*]内至少有一个实根。 综上所述,f(x)=0在(1,+∞)内至少有一个实根。
解析
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考研数学二
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