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设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0。证明:存在ξ∈(a,b),使得
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0。证明:存在ξ∈(a,b),使得
admin
2019-09-27
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问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0。证明:存在ξ∈(a,b),使得
选项
答案
令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x),则F(x)在[a,b]上连续,在 (a,b)内可导,且F(a)=F(b)=f(a)g(b),由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0, 而F′(x)=f′(x)g(b)+f(a)g′(x)-f′(x)g(x)-f(x)g′(x),所以 [*]
解析
这是含端点和含ξ的项的问题,且端点与含ξ的项不可分离,具体构造辅助函数过程如下:把结论中的ξ换成x得
,整理得
f′(x)g(b)+f(a)g′(x)-f′(x)g(x)-f(x)g′(x)=0,
还原得
[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]′=0,
辅助函数为
F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x).
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