2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则( )．

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则( )．

admin2019-06-06  61
问题 设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)，f″(x)≠0，则(    )．
选项 A、f′(x)在(a，b)内没有零点
B、f′(x)在(a，b)内只有一个零点
C、f′(x)在(a，b)内至少有一个零点
D、f′(x)在(a，b)内零点个数不能确定
答案B
解析 因f(a)=f(b)，首选罗尔定理证之，再用反证法证明f′(x)只有一个零点．
    解  因为f(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，f(a)=f(b)，由罗尔定理知，至少存在ξ∈(a，b)，使得
    f′(ξ)=0．
    如果f′(x)在(a，b)内有两个零点ξ1，ξ2(ξ1≠ξ2)，则函数f′(x)在[ξ1，ξ2]上仍满足罗尔定理条件，则在ξ1，ξ2之间存在已，使
    f″(ξ3)=0，
    这与在[a，b]上．f″(x)≠0矛盾．
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考研数学二

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