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设随机变量X和Y的概率分布分别为 P(X2=Y2)=1。 (Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ)求Z=XY的概率分布; (Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY。
设随机变量X和Y的概率分布分别为 P(X2=Y2)=1。 (Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ)求Z=XY的概率分布; (Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY。
admin
2020-03-05
19
问题
设随机变量X和Y的概率分布分别为
P(X
2
=Y
2
)=1。
(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Z=XY的概率分布;
(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρ
XY
。
选项
答案
(Ⅰ)由于P(X
2
=Y
2
)=1,因此P(X
2
≠Y
2
)=0。 故P(X=0,Y=1)=0,可知 P(X=1,Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=1)=P(Y=1)=[*] 再由P(X=1,Y=0)=0可知 P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=0)=P(Y=0)=[*] 同理,由P(X=0,Y=-1)=0可知 P(X=1,Y=-1)=P(X=1,Y=-1)+P(X=0,Y=-1)=P(Y=-1)=[*] 这样,就可以写出(X,Y)的联合分布如下: [*] (Ⅱ)Z=XY可能的取值有-1,0,1。其中 P(Z=-1)=P(X=1,Y=-1)=[*],P(Z=1)=P(X=1,Y=1)=[*] 则有P(Z=0)=[*] 因此,Z=XY的分布律为 [*] (Ⅲ)E(X)=[*],E(Y)=0,E(XY)=0,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y)=0, 所以 [*]
解析
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考研数学一
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