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设A=(aij)是3阶非零矩阵,∣A∣为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则∣A∣=_______.
设A=(aij)是3阶非零矩阵,∣A∣为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则∣A∣=_______.
admin
2021-01-25
42
问题
设A=(a
ij
)是3阶非零矩阵,∣A∣为A的行列式,A
ij
为a
ij
的代数余子式.若a
ij
+A
ij
=0(i,j=1,2,3),则∣A∣=_______.
选项
答案
一1
解析
由A≠O,不妨设A
11
≠0,由已知的A
ij
=一a
ij
(i,j=1,2,3),得
及A=一(A
*
)
T
,其中A
*
为A的伴随矩阵.以下有两种方法:
方法1:用A
T
右乘A=一(A
*
)
T
的两端,得
AA
T
=一(A
*
)A
T
=一(AA
*
)
T
=一(∣A∣I)
T
,其中I为3阶单位矩阵,上式两端取行列式,得
∣A∣
2
=(一1)
3
∣A∣
3
,或∣A∣
2
(1+∣A∣)=0,因∣A∣≠0,所以∣A∣=一1.
方法2:从A=一(A
*
)
T
两端取行列式,并利用∣A
*
∣=∣A∣
2
,得
∣A∣=(一1)
3
∣A
*
∣=一∣A∣
2
,或∣A∣(1+∣A∣)=0,因∣A∣≠0,所以∣A∣=一1.
本题综合考查行列式的计算和伴随矩阵的有关概念.本题要求方阵A的行列式,需要建立关于方阵A的等式,所以将已知的9个数相等的条件A
ij
=一a
ij
(i,j=1,2,3)转化成两个3阶方阵相等: A=一(A
*
)
T
,这是本题求解的关键.还应注意在处理有关伴随矩阵的问题时,伴随矩阵的定义及基本公式AA
*
=A
*
A=∣A∣I是两个基本出发点.本题还用到方阵行列式及伴随矩阵行列式的其它常用性质,如:∣A
T
∣=∣A∣,∣AB∣=∣A∣∣B∣(A,B为同阶方阵),∣kA∣=k∣A∣(k为常数),∣A
*
∣=∣A∣
n-1
(A为,n阶方阵).
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考研数学三
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