2. 考研
  3. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=_______．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=_______．

admin2021-01-25  29
问题 设A=(aij)是3阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=_______．
选项
答案一1
解析 由A≠O，不妨设A11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得
   
及A=一(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
    方法1：用AT右乘A=一(A*)T的两端，得
    AAT=一(A*)AT=一(AA*)T=一(∣A∣I)T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
    ∣A∣2=(一1)3∣A∣3，或∣A∣2(1+∣A∣)=0，因∣A∣≠0，所以∣A∣=一1．
    方法2：从A=一(A*)T两端取行列式，并利用∣A*∣=∣A∣2，得
    ∣A∣=(一1)3∣A*∣=一∣A∣2，或∣A∣(1+∣A∣)=0，因∣A∣≠0，所以∣A∣=一1．
本题综合考查行列式的计算和伴随矩阵的有关概念．本题要求方阵A的行列式，需要建立关于方阵A的等式，所以将已知的9个数相等的条件Aij=一aij(i，j=1，2，3)转化成两个3阶方阵相等： A=一(A*)T，这是本题求解的关键．还应注意在处理有关伴随矩阵的问题时，伴随矩阵的定义及基本公式AA*=A*A=∣A∣I是两个基本出发点．本题还用到方阵行列式及伴随矩阵行列式的其它常用性质，如：∣AT∣=∣A∣，∣AB∣=∣A∣∣B∣(A，B为同阶方阵)，∣kA∣=k∣A∣(k为常数)，∣A*∣=∣A∣n-1(A为，n阶方阵)．
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考研数学三

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