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设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2),且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量.求证;f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量.
设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2),且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量.求证;f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量.
admin
2018-06-14
74
问题
设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2),且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量.求证;f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量.
选项
答案
由题设f(x)在x=a处n阶可导且[*]=A≠0知,把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得 [*] 从而 f(a)=f’(a)=f"(a)=…=f
(n—1)
(a)=0,f
(n)
(a)=n!A≠0. 设g(x)=f’(x),由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导,且 g(a)=f’(a)=0,g’(a)=f"(a)=0,…,g
(n—2)
(a)=f
(n—1)
(a)=0, g
(n—1)
(a)=f
(n)
(a)=n!A≠0. 由此可得f’(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 f’(x)=g(x)=g(a)+g’(a)(x一a)+…+[*](x一a)
n—2
+[*](x—a)
n—1
+ο(x一a)
n—1
=[*](x一a)
n—1
+ο((x一a)
n—1
=nA(x一a)
n—1
+ο((x一a)
n—1
), 故f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量.
解析
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考研数学三
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