设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

admin2018-06-14 114

问题设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

选项

答案由题设f(x)在x=a处n阶可导且[*]=A≠0知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得 [*] 从而 f(a)=f’(a)=f"(a)=…=f^(n—1)(a)=0，f⁽ⁿ⁾(a)=n!A≠0．设g(x)=f’(x)，由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导，且 g(a)=f’(a)=0，g’(a)=f"(a)=0，…，g^(n—2)(a)=f^(n—1)(a)=0， g^(n—1)(a)=f⁽ⁿ⁾(a)=n!A≠0．由此可得f’(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 f’(x)=g(x)=g(a)+g’(a)(x一a)+…+[*](x一a)^n—2 +[*](x—a)^n—1+ο(x一a)^n—1 =[*](x一a)^n—1+ο((x一a)^n—1=nA(x一a)^n—1+ο((x一a)^n—1)，故f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

解析

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考研数学三

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设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

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求

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