设矩阵已知A的特征值之和为4，且某个特征值为2．求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵．

admin2017-07-11 31

问题设矩阵

已知A的特征值之和为4，且某个特征值为2．
求可逆矩阵P，使(AP)^T(AP)为对角矩阵．

选项

答案因A是实对称矩阵，故(AP)^TAP=P^TA²P，其中 [*] 求可逆矩阵P，使(AP)^TAP为对角矩阵，即相当于对A²作合同变换，使之对角化．可求出A²的特征值、特征向量，再把A²的特征向量正交单位化后，以其为列组成的矩阵即为所求．但这样做比较繁琐，故考虑借助二次型求解．考虑二次型 x^TA²x=4x₁²+4x₂²+5x₃²+5x₄²+8x₃x₄，用配方法将它化为标准形，得[*] 令 [*] 则由线性变换 [*]

解析

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