2. 考研
  3. 设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx－b2有一次公因式，则△ABC一定是( )．

设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx－b2有一次公因式，则△ABC一定是( )．

admin2016-01-22  36
问题 设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx－b2有一次公因式，则△ABC一定是(     )．
选项 A、等腰三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
E、直角三角形
答案E
解析 设多项式x2+2ax+b2和x2+2cx－b2的公因式为x－m．
则x＝m为方程x2+2ax+b2＝0与x2+2cx－b2＝0的公共根．
于是m2+2am+b2＝0，m2+2cm－b2＝0．
两式相加得2m2+2(a+c)m＝02m[m+(a+c)]＝0，
若m＝0，代入m2+2am+b2＝0得b＝0，显然矛盾．
所以m＝－(a+c)，代人m2+2am+b2＝0
得(a+c)2－2a(a+c)+b2＝0．
整理得a2＝b2+c2，因此△ABC为直角三角形，
故选E．
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