设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+26)T,β=(1,3,-3)T,试讨论当a,b为何值时, (Ⅰ)β不能由α1,α2,α3线性表示; (Ⅱ)β可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表

admin2016-06-30  53

问题 设α1=(1,2,0)T,α2=(1,a+2,-3a)T,α3=(-1,-b-2,a+26)T,β=(1,3,-3)T,试讨论当a,b为何值时,
    (Ⅰ)β不能由α1,α2,α3线性表示;
    (Ⅱ)β可由α1,α2,α3惟一地线性表示,并求出表示式;
    (Ⅲ)β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不惟一,并求表示式.

选项

答案设有一组数χ1,χ2,χ3,使得 χ1α1+χ2α2+χ3α3=β (*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换: [*] (1)当a=0,b为任意常数时,有 [*] 可知r(A)≠r([*]),故方程组(*)无解,β不能由α1,α2,α3线性表示. (2)当a≠0,且a≠b时,r(A)=r([*])=3,方程组(*)有唯一解:[*],χ3=0.故此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示为:β=[*] (3)当a=b≠0时,对[*]施行初等行变换: [*] 可知r(A)=r([*])=2,故方程组(*)有无穷多解,通解为[*],χ3=c,其中c为任意常数.故此时β可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一,其表示式为β=[*]α2+cα3

解析
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