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设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ使f"’(ξ)= 3.
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ使f"’(ξ)= 3.
admin
2022-09-05
76
问题
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ使f"’(ξ)= 3.
选项
答案
由麦克劳林公式得 [*] 其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]. 分别令x=-1和x-1,并结合已知条件,得 [*] 两式相减可得f"’(η
1
)+f(η
2
)=6 由f’"(x)的连续性,f"’(x)在闭区间[η
1
,η
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m则有 m≤[*][f’"(η
1
)+f"’(η
2
)]≤M 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1)使得 f’”(ξ)=[*][f’"(η
1
)+f”’(η
2
)]=3
解析
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考研数学三
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