设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f”(x)≠0．证明：对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；

admin2019-11-25 52

问题设f(x)在(－1，1)内二阶连续可导，且f”(x)≠0．证明：
对(－1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得f(x)＝f(0)＋xf’[θ(x)x]；

选项

答案对任意x∈(－1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)＝f(0)＋xf’[Θ(x)x]，其中0＜Θ(x)＜1．因为f”(x)∈C(－1，1)且f”(x)≠0，所以f”(x)在(－1，1)内保号，不妨设f”(x)＞0，则f’(x)在(－1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以Θ(x)是唯一的．

解析

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考研数学三

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