2. 考研
  3. 设α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。 (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，

设α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。 (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，

admin2018-11-16  43
问题 设α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。
(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量。
选项
答案(Ⅰ)α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3 [*] 得a=-3。 (Ⅱ)与α1，α2，α3都正交的非零项向量即齐次方程组[*]的非零解，解此方程组： [*] 解得α4=c(19，-6，0，1)T，c≠0。 (Ⅲ)只用证明α1，α2，α3，α4线性相关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示。 方法一：由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示，用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4=c1α1+c2α2+c3α3，则(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)=0，得α4=0，与α4是非零向量矛盾。 方法二：计算行列式 [*] 于是α1，α2，α3，α4线性无关。
解析
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考研数学三

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