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  3. [2004年] 设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛．

[2004年] 设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛．

admin2019-04-08  58
问题 [2004年]  设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数xnα收敛．
选项
答案令fn(x)=xn+nx一1，由fn(0)=一1＜0，fn(1／n)=(1／n)n＞0及连续函数的零点定理知，方程xn+nx一1—0存在正实根xn∈(0，1／n)．由于f’n(x)=nxn-1+n，当x＞0时，f’n(x)＞0，可见fn(x)在[0，+∞)上单调增加，故fn(x)在[0，+∞)上存在唯一正实根xn．由于0＜xn＜1／n，有0＜xnα＜1／nα，而α＞1，级数[*]收敛，故[*]xnα收敛．
解析
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考研数学一

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