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已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是( )
已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是( )
admin
2017-01-16
58
问题
已知P
-1
AP=
，α
1
是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α
2
，α
3
是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是( )
选项
A、(α
1
，-α
2
，α
3
)。
B、(α
1
，α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
)。
C、(α
1
，α
3
，α
2
)。
D、(α
1
+α
2
，α
1
-α
2
，α
3
)。
答案
D
解析
若P
-1
AP=
，P=(α
1
，α
2
，α
3
)，则有AP=P
，即
A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
亦即(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(a
1
α
1
，a
2
α
2
，a
3
α
3
)。
可见α
i
是矩阵A属于特征值a
i
的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此α
1
，α
2
，α
3
线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α，β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α
2
，α
3
是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
，仍是λ=6的特征向量，并且α
2
+α
3
，α
2
-2α
3
线性无关，故选项B正确。
对于选项C，因为α
2
，α
3
均是λ=6的特征向量，所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确。
即选项C正确。
由于α
1
，α
2
是不同特征值的特征向量，因此α
1
+α
2
，α
1
-α
2
不再是矩阵A的特征向量，故选D。
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