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  3. 已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是( )

已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2017-01-16  28
问题 已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量，那么矩阵P不能是(    )
选项 A、(α1，-α2，α3)。
B、(α1，α2+α3，α2-2α3)。
C、(α1，α3，α2)。
D、(α1+α2，α1-α2，α3)。
答案D
解析 若P-1AP=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=P，即
A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)
亦即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)。
可见αi是矩阵A属于特征值ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α，β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=6的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3，仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确。
对于选项C，因为α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。
即选项C正确。
由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选D。
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考研数学一

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