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  3. [2015年] 设向量组α1，α2，α3是三维向量空间R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3． 当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．

[2015年] 设向量组α1，α2，α3是三维向量空间R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3． 当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．

admin2019-04-08  61
问题 [2015年]  设向量组α1，α2，α3是三维向量空间R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．
当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．
选项
答案设[*]，则P为从基α1，α2，α3到另一个基β1，β2，β3的过渡矩阵，即 [β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]P． 设ξ在基α1，α2，α3下的坐标为(x1，x2，x3)，在基β1，β2，β3下的坐标为(y1，y2，y3)．由式得到 [y1，y2，y3]=[x1，x2，x3](P-1)T． ① 由题设[y1，y2，y3]=[x1，x2，x3]，则由式①得到 [x1，x2，x3]=[x1，x2，x3](P-1)T， 两边取转量得到 [*]，即[*] 令X=(x1，x2，x3)T，则PX=X，即(P—E)X=0． 下面解方程组②，为要其有非零解，必有 [*]，即k=0． 这时方程组②化为[*]．由基础解系的简便求法即得该方程组的一个基础解系为[一1，0，1]T．因而该方程组的通解为[x1，x2，x3]T=c[-1，0，1]T，其中c为任意常数． 即x1=一c，x2=0，x3=c，从而所求的所有向量为ξ=x1α1+x2α2+x3α1=一cα1+cα3，其中c为任意常数．
解析
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考研数学一

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