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(2008年)设f(x)是连续函数。 (I)利用定义证明函数可导,且F′(x)=f(x); (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数。
(2008年)设f(x)是连续函数。 (I)利用定义证明函数可导,且F′(x)=f(x); (Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数。
admin
2018-03-11
45
问题
(2008年)设f(x)是连续函数。
(I)利用定义证明函数
可导,且F′(x)=f(x);
(Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数
也是以2为周期的周期函数。
选项
答案
[*] (Ⅱ)方法一:根据题设,有 [*] 当f(x)是以2为周期的周期函数时,f(x+2)=f(x)。从而G′(x+2)=G′(x)。因而G(x+2)-G(x)=C。取x=0得, C=G(0+2)--G(0)=0. 故 G(x+2)一G(x)=0, 即[*]是以2为周期的周期函数。 方法二:根据题设,有 [*] 对于[*]作变量替换t=u+2,并注意到f(u+2)=f(u),则有 [*] 因而[*]于是 [*] 即[*]是以2为周期的周期函数。
解析
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考研数学一
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