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设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g’(a)存在,则g(a)=0,g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g’(a)存在,则g(a)=0,g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
admin
2018-12-19
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问题
设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g’(a)存在,则g(a)=0,g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
选项
A、充分必要条件。
B、充分非必要条件。
C、必要非充分条件。
D、非充分非必要条件。
答案
A
解析
因φ(x)在x=a处不可导,所以不能对F(x)用乘积的求导法则,需用定义求F’(a)。题设φ(x)以x=a为跳跃间断点,则存在
,A
+
≠A
—
。
当g(a)=0时,有
这表明,g(a)=0时,F’(a)存在 <=> F’
+
(a)=F’
—
(a) <=> g’(a)(A
+
一A
—
)=0 <=> g’(a)=0。
下面证明若F’(a)存在,则g(a)=0。
反证法。若g(a)≠0,
,由商的求导法则,φ(x)在x=a可导,这与题设矛盾,则g(a)=0,g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的充要条件。故选A。[img][/img]
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考研数学二
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