2. 考研
  3. 设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )

设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )

admin2018-12-19  29
问题 设F(x)=g(x)φ(x)，x=a是φ(x)的跳跃间断点，g’(a)存在，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的(      )
选项 A、充分必要条件。
B、充分非必要条件。
C、必要非充分条件。
D、非充分非必要条件。
答案A
解析 因φ(x)在x=a处不可导，所以不能对F(x)用乘积的求导法则，需用定义求F’(a)。题设φ(x)以x=a为跳跃间断点，则存在，A+≠A—。
当g(a)=0时，有

这表明，g(a)=0时，F’(a)存在 <=> F’+(a)=F’—(a) <=> g’(a)(A+一A—)=0 <=> g’(a)=0。
下面证明若F’(a)存在，则g(a)=0。
反证法。若g(a)≠0，，由商的求导法则，φ(x)在x=a可导，这与题设矛盾，则g(a)=0，g’(a)=0是F(x)在x=a处可导的充要条件。故选A。[img][/img]
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考研数学二

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