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(1996年)设f(χ)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f′(a).f′(b)>0.试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f〞(η)=0.
(1996年)设f(χ)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f′(a).f′(b)>0.试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f〞(η)=0.
admin
2016-05-30
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问题
(1996年)设f(χ)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)=f(b)=0,f′(a).f′(b)>0.试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f〞(η)=0.
选项
答案
先用反证法证明:[*]ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.否则由f(χ)的连续性可知,在区间(a,b)内恒有f(χ)>0或f(χ)<0.不妨设f(χ)>0,则 [*] 从而f′(a)f′(b)≤0.这与已知条件矛盾,则在(a,b)内至少存在ξ,使f(ξ)=0. 再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知.存在η
1
∈(a,ξ)和η
2
∈(ξ,b)使 f′(η
1
)=f′(η
2
)=0 又在[η
1
,η
2
]上对f′(χ)应用罗尔定理知,存在η∈(η
1
,η
2
),使f〞(η)=0
解析
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考研数学二
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