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[2010年] 设函数u=(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式=0.确定a,b的值,使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下化简为=0.
[2010年] 设函数u=(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式=0.确定a,b的值,使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下化简为=0.
admin
2019-04-05
28
问题
[2010年] 设函数u=(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式
=0.确定a,b的值,使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下化简为
=0.
选项
答案
利用二元复合函数链式法则求二阶偏导数,代入所给等式中求出a,b.计算时,既可以将ξ,η视为中间变量,也可以将x,y视为中间变量,因此有两种解法. 解一 由复合函数的链式法则,视ξ,η为中间变量,x,y仍为自变量,得到 [*] =(5a
2
+12a+4)[*]+[10ab+12(a+b)+8][*]+(12b+4+5b
2
)[*]=0. 由题设有[*] 解方程①和方程②得到a=一2/5或一2,b=一2/5或一2,但当(a,b)为(一2,-2)或(一2/5,一2/5)时,方程③不满足,故所求的(a,b)为(一2/5,一2)或(一2,一2/5). 解二 由题设易得到x=(aη一bξ)/(a-b),y=(ξ一η)/(a一b),因而可将x,y视为中间变量,将ξ,η视为自变量,得到 [*] 欲使[*]=0,即一ab[*]=0,应有 [*], 即 a=2,b=一[*] 或 a=一[*],b=一2.
解析
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考研数学二
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