2. 考研
  3. 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

admin2019-03-21  43
问题 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．
选项
答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)-xy’(x))，又 [*]=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2， [*]=(y-xy’)2， 按题意得 x2+x2y’2=(y-xy’)2，即2xyy’-y2=-x2． 又初始条件 [*] 这是齐次方程[*]，则方程化成 [*] 分离变量得 [*] 积分得ln(1+u2)=-lnx+C1，1+u2=[*] 代入u=[*]得y2+x2=Cx． 由初始条件[*]，得C=3． 因此L的方程为y2+x2=3x．
解析
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考研数学二

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