设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

admin2019-03-21 39

问题设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度

，求L的方程．

选项

答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)-xy’(x))，又 [*]=x²+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]²=x²+x²y’²， [*]=(y-xy’)²，按题意得 x²+x²y’²=(y-xy’)²，即2xyy’-y²=-x²．又初始条件 [*] 这是齐次方程[*]，则方程化成 [*] 分离变量得 [*] 积分得ln(1+u²)=-lnx+C₁，1+u²=[*] 代入u=[*]得y²+x²=Cx．由初始条件[*]，得C=3．因此L的方程为y²+x²=3x．

解析

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