设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2020-04-30 31

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=ax²₁+2x²₂-2x²₃+2bx₁x₃(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=-3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ₁=(2，0，1)^T，ξ₂=(0，1，0)^T．对于λ₃=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 ξ₃=(1，0，-2)^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，由此得 [*] 令矩阵 [*] 则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y²₁+2y²₂-3y²₃．

解析

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考研数学一

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设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

考研数学一

A，B，C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件()

“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的()条件．

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曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕z轴旋转一周所形成旋转体的体积为_______．

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