设A，A，P为4阶矩阵，其中P可逆，，A=P-1AP，则A10=________．

admin2021-07-27 17

问题设A，A，P为4阶矩阵，其中P可逆，

，A=P^-1AP，则A¹⁰=________．

选项

答案E

解析形如A=P^-1AP的矩阵是一种较为特殊的结构形式，常用在矩阵的幂运算中．根据乘法运算的结合律，有A^m=(P^-1AP)(P^-1AP)…(P^-1AP)=P^-1A(PP^-1)A(PP^-1)A…(PP^-1)AP=P^-1AA…AP即有公式：A^m=P^-1A^mP．于是本题求A的10次幂，可以转化为先求对角矩阵A的10次幂，再左乘P^-1右乘P．又因对角矩阵的10次幂等于由其对角线元素的10次幂构造的对角矩阵，即有

因此A¹⁰=P^-1A¹⁰P=P^-1P=E．

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