2. 考研
  3. 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

admin2021-01-19  54
问题 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。
选项
答案由已知得 y’2=u’(x)ex+u(x)ex=[u’(x)+u(x)]ex， y"2=ex[u"(x)+2u’(x)+u(x)]， 所以 (2x－1)ex[u"(x)+2u’(x)+u(x)]－(2x+1)[u’(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0， 化简可得u"／u’=[*]，即(lnu’)’=[*]，两边对x求积分得 lnu’(x)=－∫[*]dx=ln|2x－1|+lne－x+lnC1， 即u’=C1(2x－1)e－x。 上式两端再次积分得 u(x)=C1∫(2x－1)e－xdx=C1(－2x－1)e－x+C2， 将u(－1)=e，u(0)=－1代入上式得C1=1，C2=0，故u(x)=－(2x+1)e－x。 因此，原方程的通解为 y(x)=D1y1(x)+D2y2(x)=D1ex－D2(2x+1)， 其中D1，D2为任意常数。
解析
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考研数学二

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