已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

admin2021-01-19 78

问题已知y₁(x)=e^x，y₂(x)=u(x)e^x是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

选项

答案由已知得 y’₂=u’(x)e^x+u(x)e^x=[u’(x)+u(x)]e^x， y"₂=e^x[u"(x)+2u’(x)+u(x)]，所以 (2x－1)e^x[u"(x)+2u’(x)+u(x)]－(2x+1)[u’(x)+u(x)]e^x+2u(x)e^x=0，化简可得u"／u’=[*]，即(lnu’)’=[*]，两边对x求积分得 lnu’(x)=－∫[*]dx=ln|2x－1|+lne^－x+lnC₁，即u’=C₁(2x－1)e^－x。上式两端再次积分得 u(x)=C₁∫(2x－1)e^－xdx=C₁(－2x－1)e^－x+C₂，将u(－1)=e，u(0)=－1代入上式得C₁=1，C₂=0，故u(x)=－(2x+1)e^－x。因此，原方程的通解为 y(x)=D₁y₁(x)+D₂y₂(x)=D₁e^x－D₂(2x+1)，其中D₁，D₂为任意常数。

解析

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考研数学二

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已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y"－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

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