求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x,y)|x2+y2≤1)上的最大值与最小值.

admin2021-08-02  22

问题 求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x,y)|x2+y2≤1)上的最大值与最小值.

选项

答案由于D是有界闭区域,z=x2+y2+2x+y在该区域上连续,因此一定能取到最大值与最小值. 先求函数在区域内部的极值点. 解方程组[*] 由于[*]不在区域D内,舍去.所以函数在区域内部无极值点. 再求函数在边界上的最大值点与最小值点,即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点.此时z=1+2x+y. 用拉格朗日乘数法,作拉格朗日函数L(x,y,λ)=1+2x+y+λ(x2+y2一1). 令[*]解得[*] 所有最值可疑点仅有两个,由于[*],所以最小值m=[*],最大值M=[*]

解析
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