求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)上的最大值与最小值．

admin2021-08-02 67

问题求函数z=x²+y²+2x+y在区域D={(x，y)｜x²+y²≤1)上的最大值与最小值．

选项

答案由于D是有界闭区域，z=x²+y²+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．先求函数在区域内部的极值点．解方程组[*] 由于[*]不在区域D内，舍去．所以函数在区域内部无极值点．再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x²+y²+2x+y满足约束条件x²+y²=1的条件极值点．此时z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x²+y²一1)．令[*]解得[*] 所有最值可疑点仅有两个，由于[*]，所以最小值m=[*]，最大值M=[*]

解析

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