设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b．

admin2018-06-15 51

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=

其中A^*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^－1α≠b．

选项

答案用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 [*] =|A|²(b－α^TA^－1α)．因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|(b－α^TA^－1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b－α^TA^－1α≠0，即α^TA^－1α≠b．

解析

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考研数学一

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