设A是m×n阶实矩阵，证明： ATAX=ATb一定有解．

admin2016-07-22 30

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：
A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案A^TAX=A^Tb有解[*]r(A^TA)=r(A^TA｜A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)=r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T｜A^Tb)=r(A^TA｜A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

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考研数学一

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