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已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,—1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,—3,1,0)T, (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)如果齐次线
已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,—1,3)T,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,—3,1,0)T, (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)如果齐次线
admin
2015-04-30
45
问题
已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是
η
1
=(1,3,0,2)
T
,η
2
=(1,2,—1,3)
T
,又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
β
1
=(1,1,2,1)
T
,β
2
=(0,—3,1,0)
T
,
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)如果齐次线性方程组Az=0与Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.
选项
答案
(Ⅰ)记C=(η
1
,η
2
),由AC=A(η
1
,η
2
)=0知C
T
A
T
=0,则矩阵A
T
的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组C
T
x=0的解.对C
T
作初等行变换,有 [*] 得到C
T
x=0的基础解系为α=(3,一1,1,0)
T
,α=(一5,1,0,1)
T
.所以矩阵A=[*] (Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ,则γ既可由η
1
,η
2
线性表出,也可由β
1
,β
2
线性表出,故可设 y=x
1
η
1
+x
2
η
2
=一x
3
β
1
一x
4
β
2
,于是 x
1
η
1
+x
2
η
2
+x
3
β
1
一x
4
β
2
=0.对(η
1
,η
2
,β
1
,β
2
)作初等行变换,有 [*] 当a=0时,解出x
4
=t,x
3
=一t,x
2
=一t,x
1
=2t. 因此Ax=0与Bx=0的公共解为y=2tη
1
—tη
2
=t(1,4,1,1)
T
,其中t为任意常数.
解析
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考研数学二
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