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若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是区间(a,b)内任意两点,且x1<x2,则至少存在一点ε,使( )。
若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x1和x2是区间(a,b)内任意两点,且x1<x2,则至少存在一点ε,使( )。
admin
2021-07-15
72
问题
若函数f(x)在区间(a,b)内可导,x
1
和x
2
是区间(a,b)内任意两点,且x
1
<x
2
,则至少存在一点ε,使( )。
选项
A、f(b)-f(a)=f‘(ε)(b-a),其中a<ε<b
B、f(b)-f(x
1
)=f’(ε)(b-x
1
),其中x
1
<ε<b
C、f(x
2
)-f(x
1
)=f’(ε)(x
2
-x
1
),其中x
1
<ε<x
2
D、f(x
2
)-f(a)=f’(ε)(x
2
-a),其中a<ε<x
2
答案
C
解析
所给表达式皆为函数增量、自变量增量与区间内某点导数值的关系,可考虑拉格朗日中值定理。
由于拉格朗日中值定理需要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,而题设条件只给出f(x)在(a,b)内可导,这并不能保证f(x)在[a,b]上连续,而A,B,D所给各表达式分别为f(x)在[a,b],[x
1
,b],[a,x
2
]上的拉格朗日中值定理形式,可知这三项都不符合定理条件,应排除。
由于f(x)在(a,b)内可导,可知f(x)在(a,b)内连续,又由于x
1
,x
2
∈(a,b)且x
1
<x
2
,可知f(x)在[x
1
,x
2
]上连续,在(x
1
,x
2
)内可导,即f(x)在[x
1
,x
2
]上满足拉格朗日中值定理的条件,可知C成立,故选C.
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考研数学二
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