2. 考研
  3. 若函数f(x)在区间（a,b)内可导，x1和x2是区间（a,b)内任意两点，且x1＜x2,则至少存在一点ε，使（ ）。

若函数f(x)在区间（a,b)内可导，x1和x2是区间（a,b)内任意两点，且x1＜x2,则至少存在一点ε，使（ ）。

admin2021-07-15  68
问题 若函数f(x)在区间（a,b)内可导，x1和x2是区间（a,b)内任意两点，且x1＜x2,则至少存在一点ε，使（      ）。
选项 A、f(b)－f(a)=f‘(ε)(b－a),其中a＜ε＜b
B、f(b)－f(x1)=f’(ε)(b－x1),其中x1＜ε＜b
C、f(x2)－f(x1)=f’(ε)(x2－x1),其中x1＜ε＜x2
D、f(x2)-f(a)=f’(ε)(x2－a),其中a＜ε＜x2
答案C
解析 所给表达式皆为函数增量、自变量增量与区间内某点导数值的关系，可考虑拉格朗日中值定理。
由于拉格朗日中值定理需要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，而题设条件只给出f(x)在（a,b)内可导，这并不能保证f(x)在[a,b]上连续，而A,B,D所给各表达式分别为f(x)在[a,b],[x1,b],[a,x2]上的拉格朗日中值定理形式，可知这三项都不符合定理条件，应排除。
由于f(x)在（a,b)内可导，可知f(x)在（a,b)内连续，又由于x1,x2∈(a,b)且x1＜x2,可知f(x)在[x1,x2]上连续，在（x1,x2）内可导，即f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，可知C成立，故选C.
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考研数学二

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