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当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α,且y(0)=π,求y(1)的值.
当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α,且y(0)=π,求y(1)的值.
admin
2019-08-12
72
问题
当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=
+α,且y(0)=π,求y(1)的值.
选项
答案
首先尝试从△y的表达式直接求y(1).为此,设x
0
=0,△x=1,于是△y=y(x
0
+△x)-y(x
0
)=y(1)-y(0)=y(1)-π,代入△y的表达式即得 y(1)-π=π+α <=> y(1)=2π+α. 由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小,而不知道α的具体表达式,因而从上式无法求出y(1). 由此可见,为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α.利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知,函数y(x)在任意点x处的微分 [*] 这是一个可分离变量方程,它满足初始条件y|
x=0
=π的特解正是本题中的函数y(x),解出y(x)即可得到y(1). 将方程dy=[*]分离变量,得[*] 求积分可得[*] 由初始条件y(0)=π可确定[*],从而y(1)=[*]
解析
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考研数学二
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