2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． (1)求a． (2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2． (1)求a． (2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形． (3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2019-08-12  44
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．
(1)求a．
(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．
(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
选项
答案(1)此二次型的矩阵为 [*] 则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0． [*] (2)｜λE-A｜=[*]=λ(λ-2)2， 得A的特征值为2，2，0． 对特征值2求两个正交的单位特征向量： [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组x1-x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它们正交， 单位化：α1=η1，α2=[*] 方程x1-x2=0的系数向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位 化得 α3=[*] 作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则 QTAQ=[*] 作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22． (3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32． 于是f(x1，x2，x3)=0[*] 求得通解为：[*]，c任意．
解析
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考研数学二

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