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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (1)求a. (2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (1)求a. (2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
admin
2019-08-12
42
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
(1)求a.
(2)求作正交变换X=QY,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化为标准形.
(3)求方程f(x
1
,x
2
,x
3
)=0的解.
选项
答案
(1)此二次型的矩阵为 [*] 则r(A)=2,|A|=0.求得|A|=-8a,得a=0. [*] (2)|λE-A|=[*]=λ(λ-2)
2
, 得A的特征值为2,2,0. 对特征值2求两个正交的单位特征向量: [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组x
1
-x
2
=0,求出基础解系η
1
=(0,0,1)v,η
2
=(1,1,0)
T
.它们正交, 单位化:α
1
=η
1
,α
2
=[*] 方程x
1
-x
2
=0的系数向量(1,-1,0)
T
和η
1
,η
2
都正交,是属于特征值0的一个特征向量,单位 化得 α
3
=[*] 作正交矩阵Q=(α
1
,α
2
,α
3
),则 Q
T
AQ=[*] 作正交变换X=QY,则f化为Y的二次型f=2y
1
2
+2y
2
2
. (3)f(X)=x
1
2
+x
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
+2x
3
2
. 于是f(x
1
,x
2
,x
3
)=0[*] 求得通解为:[*],c任意.
解析
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考研数学二
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