设φ(y)有连续导数，L为半圆周：(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分 I=∫L[φ(y)cosx－y]dx+[φ′(y)sinx－1]dy．

admin2017-08-28 79

问题设φ(y)有连续导数，L为半圆周：

(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分
I=∫_L[φ(y)cosx－y]dx+[φ′(y)sinx－1]dy．

选项

答案若要用格林公式求非闭曲线L上的线积分∫_LPdx+Qdy时，先要添加定向辅助线L₁使L∪L₁构成闭曲线，所围区域为D，若是正向边界，则[*]dxdy．若是负向边界，则 [*] 求∫_LPdx+Qdy转化为求L₁上的线积分和一个二重积分，如果它们都容易计算的话，则达目的． [*] 如图10．5所示，L是非闭曲线，再加直线段[*]，使它们构成沿顺时针方向的闭曲线，并把它们围成的区域记为D．L与[*]构成D的负向边界．记P(x，y)=φ(y)cosx－y，Q(x，y)=φ′(y)sinx－1，则 [*] 又 [*] 因此，在D上用格林公式得 [*] 于是[*]

解析

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考研数学一

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设φ(y)有连续导数，L为半圆周：(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分 I=∫L[φ(y)cosx－y]dx+[φ′(y)sinx－1]dy．

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