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  3. 设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[α11,α12,α13,α14]T，α2=[α21,α22,α23,α24]T．证明：向量组α1,α2，β3，β4线性无关．

设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[α11,α12,α13,α14]T，α2=[α21,α22,α23,α24]T．证明：向量组α1,α2，β3，β4线性无关．

admin2014-04-23  48
问题 设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T，β2=[b21，b22，b23，b24]T，记α1=[α11,α12,α13,α14]T，α2=[α21,α22,α23,α24]T．证明：向量组α1,α2，β3，β4线性无关．
选项
答案由题设条件：β1，β2线性无关，r(α1,α2)=2，α1,α2线性无关，且β1，β2是方程组的解．满足αiTβi=0(i=1，2；j=1，2)． (*) 法一 用线性无关定义证．设有数k1，k2，k3，k4，使得k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0，(**)两边左乘αiT(i=1，2)，且利用(*)式得 [*] (***)(***)式的系数矩阵为 [*] 由，r(A)=r(ATA)及α1，α2线性无关，有 [*] 方程组(***)只有零解，从而得k1=k2=0．将k1，k2代入(**)式，因β1，β2线性无关，得k3=k4=0，从而得证α1,α2，β1，β2线性无关． 法二 r[α1，α2，β1,β2]=r([α1，α2，β1，β2]T[α1,α2，β1，β2]) =[*] [*] =r[(α1,α2)T(α1,α2)]+r[(β1,β2)T(β1,β2)]=r(α1,α2)+r(β1,β2)=2+2=4，故α1,α2，β1,β2线性无关．
解析
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考研数学一

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