设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T,β2=[b21,b22,b23,b24]T,记α1=[α11,α12,α13,α14]T,α2=[α21,α22,α23,α24]T.证明:向量组α1,α2,β3,β4线性无关.

admin2014-04-23  33

问题 设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T,β2=[b21,b22,b23,b24]T,记α1=[α11121314]T,α2=[α21222324]T.证明:向量组α12,β3,β4线性无关.

选项

答案由题设条件:β1,β2线性无关,r(α12)=2,α12线性无关,且β1,β2是方程组的解.满足αiTβi=0(i=1,2;j=1,2). (*) 法一 用线性无关定义证.设有数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0,(**)两边左乘αiT(i=1,2),且利用(*)式得 [*] (***)(***)式的系数矩阵为 [*] 由,r(A)=r(ATA)及α1,α2线性无关,有 [*] 方程组(***)只有零解,从而得k1=k2=0.将k1,k2代入(**)式,因β1,β2线性无关,得k3=k4=0,从而得证α12,β1,β2线性无关. 法二 r[α1,α2,β12]=r([α1,α2,β1,β2]T12,β1,β2]) =[*] [*] =r[(α12)T12)]+r[(β12)T12)]=r(α12)+r(β12)=2+2=4,故α12,β12线性无关.

解析
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