在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式

admin2018-08-23 75

问题在球面x²+y²+z²=5R²(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式

选项

答案作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x²+y²+z²一5R²)，并令 [*] 由①，②，③式得[*]代入式④得可疑点[*]因xyz²在有界闭集x²+y²+z²=5R²(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz³在x²+y²+z²=5R²上也有最大值，而[*]唯一，故最大值为[*]又lnx+lny+3lnz≤[*]，即[*]故x²y²z²≤27R¹⁰．令x²=a，y²=b，z²=c，又知x²+y²+z²=5R²，则[*]

解析

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