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在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式
在球面x2+y2+z2=5R2(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式
admin
2018-08-23
44
问题
在球面x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x>0,y>0,z>0)上,求函数f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz的最大值,并利用所得结果证明不等式
选项
答案
作拉格朗日函数 L(x,y,z,λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x
2
+y
2
+z
2
一5R
2
), 并令 [*] 由①,②,③式得[*]代入式④得可疑点[*]因xyz
2
在有界闭集x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
(x≥0,y≥0,z≥0)上必有最大值,且最大值必在x>0,y>0,z>0取得,故f=ln xyz
3
在x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
上也有最大值,而[*]唯一,故最大值为[*]又lnx+lny+3lnz≤[*],即[*]故x
2
y
2
z
2
≤27R
10
. 令x
2
=a,y
2
=b,z
2
=c,又知x
2
+y
2
+z
2
=5R
2
,则[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fPj4777K
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考研数学二
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