2. 考研
  3. 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式

在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式

admin2018-08-23  68
问题 在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式
选项
答案作拉格朗日函数 L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)， 并令 [*] 由①，②，③式得[*]代入式④得可疑点[*]因xyz2在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=ln xyz3在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而[*]唯一，故最大值为[*]又lnx+lny+3lnz≤[*]，即[*]故x2y2z2≤27R10． 令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则[*]
解析
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考研数学二

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