设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0,y’(0)=1的解,则∫0+∞y(x)dx=________。

admin2021-04-16  55

问题 设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0,y’(0)=1的解,则∫0+∞y(x)dx=________。

选项

答案1/9

解析 特征方程λ2+6λ+9=0的根为λ=-3(重根),故方程的通解为
y=e-3x(C1x+C2)。
由初始条件y(0)=0,y’(0)=1,解得C1=1,C2=0,所以y(x)=xe-3x,因此
0+∞y(x)dx=∫0+∞xe-3xdx=-(1/3)∫0+∞xde-3x=-(1/3)xe-3x0+∞+(1/3)∫0+∞e-3xdx
=-(1/9)e-3x0+∞=1/9。
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