2. 考研
  3. 设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则∫0+∞y(x)dx=________。

设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则∫0+∞y(x)dx=________。

admin2021-04-16  115
问题 设函数y=y(x)是方程y”+6y’+9y=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则∫0+∞y(x)dx=________。
选项
答案1／9
解析 特征方程λ2+6λ+9=0的根为λ=-3(重根)，故方程的通解为
y=e-3x(C1x+C2)。
由初始条件y(0)=0，y’(0)=1，解得C1=1，C2=0，所以y(x)=xe-3x，因此
∫0+∞y(x)dx=∫0+∞xe-3xdx=-(1／3)∫0+∞xde-3x=-(1／3)xe-3x∫0+∞+(1／3)∫0+∞e-3xdx
=-(1／9)e-3x∫0+∞=1／9。
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考研数学三

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