设A=． (1)证明：当n≥3时，有An=An一2+A2一E； (2)求A100．

admin2021-11-09 71

问题设A=

．
(1)证明：当n≥3时，有Aⁿ=A^n一2+A²一E；
(2)求A¹⁰⁰．

选项

答案(1)用归纳法． n=3时，因A²=[*]，验证得A²=A+A²一E，上式成立．假设n=k一1(n≥3)时成立，即A^k一1=A^k一3+A²—E成立，则 A^k=A．A^k一1=A(A^k一3+A²一E)=A^k一2+A³一A =A^k一2+(A+A²一E)一A=A^k一2+A²一E，即n=k时成立．故Aⁿ=A^n一2+A²一E对任意n(n≥3)成立． (2)由上述递推关系可得 A¹⁰⁰=A⁹⁸+A²一E=(A⁹⁶+A²一E)+A²一E =A⁹⁶+2(A²一E)=…=A²+49(A²一E) =[*]．

解析

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考研数学二

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