2. 考研
  3. 设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[一1，一3，5，1]T，α3=[3，2，一1，p+2]T，α4=[一2，一6，10，p]T． p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3 ，α4 线性表出；

设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[一1，一3，5，1]T，α3=[3，2，一1，p+2]T，α4=[一2，一6，10，p]T． p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3 ，α4 线性表出；

admin2021-01-19  79
问题 设向量组α1=[1，1，1，3]T，α2=[一1，一3，5，1]T，α3=[3，2，一1，p+2]T，α4=[一2，一6，10，p]T．
p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=[4，1，6，10]T用α1，α2，α3 ，α4 线性表出；
选项
答案将给定向量作为列向量组成矩阵，并对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形．求出其极大无关组，进一步将虚线左侧的矩阵化成单位矩阵，即可写出α用α1，α2，α3 ，α4 的线性表出． 对矩阵A=[α1，α2，α3 ，α4 :α]作初等行变换，化为行阶梯形矩阵： [*] 显然当p一2≠0即p≠2时，对A1继续进行初等行变换，将其前4列化为单位向量： [*]=[β1，β2，β3 ，β4:β]=A2， 其中βi(i=1，2，3，4)，β分别为A1的列向量，易看出β1，β2，β3 ，β4线性无关，且 β=2β1+[(3p一4)／(p一2)]β2+1·β3+[(1一p)／(p一2)]β4， 则α1，α2，α3 ，α4线性无关，且向量α可用α1，α2，α3 ，α4线性表示，即 α=2α1+[(3p一4)／(p一2)]α2+α3+[(1一p)／(p一2)]α4．
解析
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考研数学二

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