设A是n阶矩阵,A的第i行、第j列的元素aij=i·j. 求A的特征值、特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.

admin2018-07-26  35

问题 设A是n阶矩阵,A的第i行、第j列的元素aij=i·j.
求A的特征值、特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵;若不能,则说明理由.

选项

答案因A2=(aaT)(aaT)=a(aTa)aT=(aTa)A=[*],故知A的特征值为0,[*]. 当λ=0时,对应的特征向量满足Ax=aaTx=0,因aTa=[*]≠0,在方程aaTx=0两端左边乘aT得 aT(aaTx)=(aTa)aTx=0,得aTx=0. 当aTx=0时,两边左边乘a,得aaTx=0,故方程组aaTx=0与aTx=0同解.解方程aTx=0,得线性无关的特征向量为 ξ1=(一2,1,0,…,0)T,ξ2=(一3,0,1,0,…,0)T,…,ξn-1,=(一n,0,…,0,1)T, 因此对应于λ=0的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1,k1,k2,…,kn-1,为不全为零的任意常数. 又tr(A)=[*]≠0,故A有一个非零特征值λn=[*] 当λn=[*]=aTa时,由λnE—A)x=(aTaE一aaT)x=0,当x=a时,有 (aTaE—aaT)a=(aTa)a一(aaT)a=(aTa)a一a(aTa)=0, 故ξn=kn(1,2,…,n)T(kn≠0)是对应于λn=[*]的特征向量, 即A有n个线性无关的特征向量,A能相似于对角阵.下同法一.

解析
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