设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

admin2018-07-26 56

问题设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素a_ij＝i·j．
求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

选项

答案因A²＝(aa^T)(aa^T)＝a(a^Ta)a^T＝(a^Ta)A＝[*]，故知A的特征值为0，[*]．当λ＝0时，对应的特征向量满足Ax＝aa^Tx＝0，因a^Ta＝[*]≠0，在方程aa^Tx＝0两端左边乘a^T得 a^T(aa^Tx)＝(a^Ta)a^Tx＝0，得a^Tx＝0．当a^Tx＝0时，两边左边乘a，得aa^Tx＝0，故方程组aa^Tx＝0与a^Tx＝0同解．解方程a^Tx＝0，得线性无关的特征向量为 ξ₁＝(一2，1，0，…，0)^T，ξ₂＝(一3，0，1，0，…，0)^T，…，ξ_n－1，＝(一n，0，…，0，1)^T，因此对应于λ＝0的特征向量为k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋…＋k_n－1ξ_n－1，k₁，k₂，…，k_n－1，为不全为零的任意常数．又tr(A)＝[*]≠0,故A有一个非零特征值λ_n＝[*] 当λ_n＝[*]＝a^Ta时，由λ_nE—A)x＝(a^TaE一aa^T)x＝0，当x＝a时，有 (a^TaE—aa^T)a＝(a^Ta)a一(aa^T)a＝(a^Ta)a一a(a^Ta)＝0，故ξ_n＝k_n(1，2，…，n)^T(k_n≠0)是对应于λ_n＝[*]的特征向量，即A有n个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵．下同法一．

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

考研数学一

设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．

在假设检验中，H0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是()．

设总体X～N(μ，σ2)，其中σ2未知，s2=，样本容量n，则参数μ的置信度为1—α的置信区间为()．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1—ξ2—ξ3，Aξ3=2ξ1—2ξ2—ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．

设盲线l过点M(1，一2，0)且与两条直线l1：，垂直，则l的参数方程为___________．

讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是

关于小儿腹泻不正确的是

下列关于《伯尔尼公约》的说法中，错误的是()。

入芝兰之室久而不闻其香，入鲍鱼之肆久而不觉其臭，这种心理现象称为适应现象。()

药品法规定，发运中药材必须有包装。在每件包装上，必须注明

港口工程地质调查与测绘工作包括下列()项。

采用比率法进行施工成本分析，常用的比率法不包括()。

下列做法中，违背“公道”要求的是()。

在Windows中，用“创建快捷方式”创建的图标______。

ThewitchmagicontheSnowWhitesothatsheforamonth.

【B1】【B18】

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

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设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．

在假设检验中，H0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是()．

设总体X～N(μ，σ2)，其中σ2未知，s2=，样本容量n，则参数μ的置信度为1—α的置信区间为()．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得。

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1—ξ2—ξ3，Aξ3=2ξ1—2ξ2—ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．

甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．(1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；(2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．

设盲线l过点M(1，一2，0)且与两条直线l1：，垂直，则l的参数方程为___________．

讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

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下列关于《伯尔尼公约》的说法中，错误的是()。

入芝兰之室久而不闻其香，入鲍鱼之肆久而不觉其臭，这种心理现象称为适应现象。()

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港口工程地质调查与测绘工作包括下列()项。

采用比率法进行施工成本分析，常用的比率法不包括()。

下列做法中，违背“公道”要求的是()。

在Windows中，用“创建快捷方式”创建的图标______。

Thewitch______magicontheSnowWhitesothatshe______foramonth.

【B1】【B18】

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

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