2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

admin2018-07-26  60
问题 设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．
求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．
选项
答案因A2＝(aaT)(aaT)＝a(aTa)aT＝(aTa)A＝[*]，故知A的特征值为0，[*]． 当λ＝0时，对应的特征向量满足Ax＝aaTx＝0，因aTa＝[*]≠0，在方程aaTx＝0两端左边乘aT得 aT(aaTx)＝(aTa)aTx＝0，得aTx＝0． 当aTx＝0时，两边左边乘a，得aaTx＝0，故方程组aaTx＝0与aTx＝0同解．解方程aTx＝0，得线性无关的特征向量为 ξ1＝(一2，1，0，…，0)T，ξ2＝(一3，0，1，0，…，0)T，…，ξn－1，＝(一n，0，…，0，1)T， 因此对应于λ＝0的特征向量为k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－1ξn－1，k1，k2，…，kn－1，为不全为零的任意常数． 又tr(A)＝[*]≠0,故A有一个非零特征值λn＝[*] 当λn＝[*]＝aTa时，由λnE—A)x＝(aTaE一aaT)x＝0，当x＝a时，有 (aTaE—aaT)a＝(aTa)a一(aaT)a＝(aTa)a一a(aTa)＝0， 故ξn＝kn(1，2，…，n)T(kn≠0)是对应于λn＝[*]的特征向量， 即A有n个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵．下同法一．
解析
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考研数学一

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