设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

admin2018-07-26 75

问题设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素a_ij＝i·j．
求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

选项

答案因A²＝(aa^T)(aa^T)＝a(a^Ta)a^T＝(a^Ta)A＝[*]，故知A的特征值为0，[*]．当λ＝0时，对应的特征向量满足Ax＝aa^Tx＝0，因a^Ta＝[*]≠0，在方程aa^Tx＝0两端左边乘a^T得 a^T(aa^Tx)＝(a^Ta)a^Tx＝0，得a^Tx＝0．当a^Tx＝0时，两边左边乘a，得aa^Tx＝0，故方程组aa^Tx＝0与a^Tx＝0同解．解方程a^Tx＝0，得线性无关的特征向量为 ξ₁＝(一2，1，0，…，0)^T，ξ₂＝(一3，0，1，0，…，0)^T，…，ξ_n－1，＝(一n，0，…，0，1)^T，因此对应于λ＝0的特征向量为k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋…＋k_n－1ξ_n－1，k₁，k₂，…，k_n－1，为不全为零的任意常数．又tr(A)＝[*]≠0,故A有一个非零特征值λ_n＝[*] 当λ_n＝[*]＝a^Ta时，由λ_nE—A)x＝(a^TaE一aa^T)x＝0，当x＝a时，有 (a^TaE—aa^T)a＝(a^Ta)a一(aa^T)a＝(a^Ta)a一a(a^Ta)＝0，故ξ_n＝k_n(1，2，…，n)^T(k_n≠0)是对应于λ_n＝[*]的特征向量，即A有n个线性无关的特征向量，A能相似于对角阵．下同法一．

解析

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

考研数学一

设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：(1)f(u)；(2)P{U＞D(U)|U＞E(U)}．

求曲线y=的上凸区间．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

设随机变量X1，X2，X3，X4，独立同分布，且Xi～的概率分布。

设随机变量X和Y都服从正态分布，则()．

某种食品防腐剂含量X服从N(μ，σ2)分布，从总体中任取20件产品，测得其防腐剂平均含量为=10．2，标准差为s=0．5099，问可否认为该厂生产的产品防腐剂含量显著大于10(其中显著性水平为α=0．05)?

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f’(x0)=M．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．

设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()

在环境标准中，_、_属于强制性标准，必须执行。

图2所示纹样，对其来源表述正确的是()。

甲醇再生时主要采用了（）方法。

“限额领料单”属于()。

论述慢性腹泻的诊断步骤和方法。

发起人、认股人交纳股款或者交付抵作股款的出资后，除未按期募足股份、发起人未按期召开创立大会或者创立大会决议不设立公司情形外，不得抽回资本。()

适用于晋升前人际关系训练的培训方法是()。(2003年11月二级真题)

Newscientificstudiesrevealthehiddencostsofmultitaskingastechnologyincreasinglytemptspeopletodomorethanonethin

请阅读以下程序　　　　　　　　main(　)　　　　　　　{　　　　　　　　　　　　int　x=1.y=0,　a=0,　b=0:　　　　　　　　　　　　switch(x)　　　　　　　　　　　　{　　　　　　　　　　　　case　1:

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j． 求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

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设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：(1)f(u)；(2)P{U＞D(U)|U＞E(U)}．

求曲线y=的上凸区间．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．

设随机变量X1，X2，X3，X4，独立同分布，且Xi～的概率分布。

设随机变量X和Y都服从正态分布，则()．

某种食品防腐剂含量X服从N(μ，σ2)分布，从总体中任取20件产品，测得其防腐剂平均含量为=10．2，标准差为s=0．5099，问可否认为该厂生产的产品防腐剂含量显著大于10(其中显著性水平为α=0．05)?

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且=M．证明：f’(x0)=M．

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak－1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α是线性无关的．

设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()

在环境标准中，_________、_________属于强制性标准，必须执行。

图2所示纹样，对其来源表述正确的是()。

甲醇再生时主要采用了（）方法。

“限额领料单”属于()。

论述慢性腹泻的诊断步骤和方法。

发起人、认股人交纳股款或者交付抵作股款的出资后，除未按期募足股份、发起人未按期召开创立大会或者创立大会决议不设立公司情形外，不得抽回资本。()

适用于晋升前人际关系训练的培训方法是()。(2003年11月二级真题)

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请阅读以下程序 main( ) { int x=1.y=0, a=0, b=0: switch(x) { case 1:

设A是n阶矩阵，A的第i行、第j列的元素aij＝i·j．求A的特征值、特征向量，并问A能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由．

在环境标准中，_、_属于强制性标准，必须执行。