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在[0,+∞)上给定曲线y=y(x)>0,y(0)=2,y(x)有连续导数.已知,[0,x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积.求曲线y=y(x)的方程.
在[0,+∞)上给定曲线y=y(x)>0,y(0)=2,y(x)有连续导数.已知,[0,x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积.求曲线y=y(x)的方程.
admin
2018-06-27
80
问题
在[0,+∞)上给定曲线y=y(x)>0,y(0)=2,y(x)有连续导数.已知
,[0,x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积.求曲线y=y(x)的方程.
选项
答案
(Ⅰ)列方程,定初值. 在[0,x]上侧面积与体积分别为2π∫
0
x
[*]∫
0
x
πy
2
dt.按题意 2π∫
0
x
y(t)[*]=π∫
0
x
y
2
(t)dt, ① y(0)=2. ② (Ⅱ)转化.将①式两边求导得2y(x)[*]=y
2
(x) (在①中令x=0,得0=0,不必另附加条件).化简得 [*] (Ⅲ)解初值问题 [*] ③式分离变量得 [*] 积分得 [*] 为解出y,两边乘 [*] 将④,⑤相加得 [*]
解析
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考研数学二
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