在[0，+∞)上给定曲线y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有连续导数．已知，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y=y(x)的方程．

admin2018-06-27 138

问题在[0，+∞)上给定曲线y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有连续导数．已知

，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y=y(x)的方程．

选项

答案(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，x]上侧面积与体积分别为2π∫₀^x[*]∫₀^xπy²dt．按题意 2π∫₀^xy(t)[*]=π∫₀^xy²(t)dt， ① y(0)=2． ② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(x)[*]=y²(x) (在①中令x=0，得0=0，不必另附加条件)．化简得 [*] (Ⅲ)解初值问题 [*] ③式分离变量得 [*] 积分得 [*] 为解出y，两边乘 [*] 将④，⑤相加得 [*]

解析

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