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已知三阶矩阵B≠0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: (Ⅰ)求λ值; (Ⅱ)证明∣B∣=0.
已知三阶矩阵B≠0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: (Ⅰ)求λ值; (Ⅱ)证明∣B∣=0.
admin
2015-12-22
50
问题
已知三阶矩阵B≠0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:
(Ⅰ)求λ值;
(Ⅱ)证明∣B∣=0.
选项
答案
方程组AX=0有非零解,秩(A)<3,则其三阶子行列式必等于0,从而求出λ.可用反证法证明∣B∣=0. 解 (Ⅰ)因B≠0,故B中至少有一个非零列向量,于是推出所给齐次方程组AX=0有非零解,故其系数矩阵的秩(A)<3,则其三阶子式必等于0,即 [*] (Ⅱ)因B的每一列向量都是方程组的解,故有 AB=O. 由A≠O,则必有∣B∣=0. 事实上,若∣B∣≠0,则B可逆,在AB=O两边右乘B
-1
必有 ABB
-1
=OB
-1
,A=0, 这与A≠0的事实矛盾,故∣B∣=0.
解析
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考研数学二
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