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  3. 已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解： (Ⅰ)求λ值； (Ⅱ)证明∣B∣=0．

已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解： (Ⅰ)求λ值； (Ⅱ)证明∣B∣=0．

admin2015-12-22  26
问题 已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：
   
    (Ⅰ)求λ值；
    (Ⅱ)证明∣B∣=0．
选项
答案方程组AX=0有非零解，秩(A)＜3，则其三阶子行列式必等于0，从而求出λ．可用反证法证明∣B∣=0． 解 (Ⅰ)因B≠0，故B中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组AX=0有非零解，故其系数矩阵的秩(A)＜3，则其三阶子式必等于0，即 [*] (Ⅱ)因B的每一列向量都是方程组的解，故有 AB=O． 由A≠O，则必有∣B∣=0． 事实上，若∣B∣≠0，则B可逆，在AB=O两边右乘B-1必有 ABB-1=OB-1，A=0， 这与A≠0的事实矛盾，故∣B∣=0．
解析
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考研数学二

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