已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解： (Ⅰ)求λ值； (Ⅱ)证明∣B∣=0．

admin2015-12-22 18

问题已知三阶矩阵B≠0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：

(Ⅰ)求λ值；
(Ⅱ)证明∣B∣=0．

选项

答案方程组AX=0有非零解，秩(A)＜3，则其三阶子行列式必等于0，从而求出λ．可用反证法证明∣B∣=0．解 (Ⅰ)因B≠0，故B中至少有一个非零列向量，于是推出所给齐次方程组AX=0有非零解，故其系数矩阵的秩(A)＜3，则其三阶子式必等于0，即 [*] (Ⅱ)因B的每一列向量都是方程组的解，故有 AB=O．由A≠O，则必有∣B∣=0．事实上，若∣B∣≠0，则B可逆，在AB=O两边右乘B^-1必有 ABB^-1=OB^-1，A=0，这与A≠0的事实矛盾，故∣B∣=0．

解析

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考研数学二

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