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设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证:它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证:它的任一解可表示为x=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1(其中k1+…+kn-r+1=1).
admin
2020-06-05
38
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n-r+1
是它的n-r+1个线性无关的解.试证:它的任一解可表示为x=k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
(其中k
1
+…+k
n-r+1
=1).
选项
答案
由于 Ax=A(k
1
η
1
+…+k
n-r+1
η
n-r+1
) =k
1
Aη
1
+…+k
n-r+1
Aη
n-r+1
=(k
1
+…+k
n-r+1
)b=b 则x是原方程组的一个解. 其次,设向量β是原方程组的一个解,记向量 ξ
i
=η
i
-η
n-r+1
(i=1,2,…,n-r) 则ξ
i
是原方程组对应的齐次线性方程组Ax=0的解,且向量ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
线性无关,于是它就是Ax=0的一个基础解系.这样向量β就可由此基础解系和原方程组的特解η
n-r+1
表示,即存在数k
1
,k
2
,…,k
n-r
,使 β=k
1
ξ
i
+…+k
n-r
ξ
n-r
+η
n-r+1
=k
1
(η
1
-η
n-r+1
)+…+k
n-r
(η
n-r
-η
n-r+1
)+η
n-r+1
=k
1
η
1
+…+k
n-r
η
n-r
+(1-k
1
-k
2
…-k
n-r
)η
n-r+1
=k
1
η
1
+…+k
n-r
η
n-r
+k
n-r+1
η
n-r+1
上式中,记k
n-r+1
=1-k
1
-k
2
…-k
n-r
,即k
1
+k
2
+…+k
n-r+1
=1.从而结论成立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Q8v4777K
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考研数学一
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