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  3. 设非齐次线性方程组Ax＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn－r＋1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证：它的任一解可表示为x＝k1η1＋…＋kn－r＋1ηn－r＋1(其中k1＋…＋kn－r＋1＝1)．

设非齐次线性方程组Ax＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn－r＋1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证：它的任一解可表示为x＝k1η1＋…＋kn－r＋1ηn－r＋1(其中k1＋…＋kn－r＋1＝1)．

admin2020-06-05  35
问题 设非齐次线性方程组Ax＝b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn－r＋1是它的n－r＋1个线性无关的解．试证：它的任一解可表示为x＝k1η1＋…＋kn－r＋1ηn－r＋1(其中k1＋…＋kn－r＋1＝1)．
选项
答案由于 Ax＝A(k1η1＋…＋kn-r+1ηn-r+1) ＝k1Aη1＋…＋kn-r+1Aηn-r+1 ＝(k1＋…＋kn-r+1)b＝b 则x是原方程组的一个解． 其次，设向量β是原方程组的一个解，记向量 ξi＝ηi－ηn-r+1 (i＝1，2，…，n－r) 则ξi是原方程组对应的齐次线性方程组Ax＝0的解，且向量ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，于是它就是Ax＝0的一个基础解系．这样向量β就可由此基础解系和原方程组的特解ηn-r+1表示，即存在数k1，k2，…，kn-r，使 β＝k1ξi＋…＋kn-rξn-r＋ηn-r+1 ＝k1(η1－ηn-r+1)＋…＋kn-r(ηn-r－ηn-r+1)＋ηn-r+1 ＝k1η1＋…＋kn-rηn-r＋(1－k1－k2…－kn-r)ηn-r+1 ＝k1η1＋…＋kn-rηn-r＋kn-r+1ηn-r+1 上式中，记kn-r+1＝1－k1－k2…－kn-r，即k1＋k2＋…＋kn-r+1＝1．从而结论成立．
解析
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考研数学一

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