已知n维向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βt的秩都等于r,那么下述命题不正确的是( )

admin2019-05-15  37

问题 已知n维向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βt的秩都等于r,那么下述命题不正确的是(  )

选项 A、若s=t,则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.
B、若向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的部分组,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
C、若向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表示,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
D、若R(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.

答案A

解析 选项A,令向量组(Ⅰ):α1=(1,0,0,0)T,α2=(0,1,0,0)T;向量组(Ⅱ):β1=(0,0,1,0)T,β2=(0,0,0,1)T满足秩相等、向量个数相等,但两者不能相互线性表示,故向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价,所以(A)不对,故选择A.
    在选项B中,由于向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的部分组,所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也是向量组(Ⅱ)的r个线性无关的向量,必是向量组(Ⅱ)的极大线性无关组,所以向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组等价,必有向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价,所以选项(B)正确.
    在选项C中,向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表示,所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组必能由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组线性表示,且向量组(Ⅱ)的极大线性无关组也是向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的极大线性无关组,即R(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r,所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也是向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的极大线性无关组,向量组(Ⅱ)的极大线性无关组必能由向量组(Ⅰ)的极大线性无关组线性表示,即向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组等价,必有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价,所以选项C正确.
    在选项D中,R(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r,所以向量组(Ⅰ)的极大线性无关组与向量组(Ⅱ)的极大线性无关组都是向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的极大线性无关组,所以它们可相互线性表示,即向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价,所以选项D正确.
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