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(2010年试题，23)设总体的分布律为其中θ∈(0，1)为未知参数，以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i(i=1，2，3)的个数，求常数a1，a2，a3，使为θ的无偏估计量．
(2010年试题，23)设总体的分布律为其中θ∈(0，1)为未知参数，以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i(i=1，2，3)的个数，求常数a1，a2，a3，使为θ的无偏估计量．
admin
2013-12-27
52
问题
(2010年试题，23)设总体的分布律为
其中θ∈(0，1)为未知参数，以N
i
表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i(i=1，2，3)的个数，求常数a
1
，a
2
，a
3
，使
为θ的无偏估计量．
选项
答案
依题意知，N
1
～B(n，1一θ)，N
2
～B(n，θ一θ
2
)，N
3
～B(n，θ
2
)，则(N
1
)=n(1一θ)，E(N
2
)=n(θ—θ
2
)，E(θ
2
)=nθ
2
，D(N
1
)=n(1一θ)θ，D(N
2
)=n(θ一θ
2
)(1一θ+θ
2
)，D(N
3
)=nθ
2
(1一θ
2
)，从而E(T)=[*]=a
1
E(N
1
)+a
2
E(N
2
)+a
3
E(N
3
)=a
1
n(1一θ)+a
2
n(θ一θ
2
)+a
3
nθ
2
=na
1
+n(a
2
—a
1
)θ+n(a
3
一a
2
)θ
2
因为T是θ的无偏估计量，所以E(T)=θ．故有[*]，解方程组得到[*]此时T的方差为D(T)=[*]=a
1
2
D(N
1
)+a
2
2
D(N
2
)+a
3
2
D(N
3
)=[*][*]
解析
本题只是考查了无偏估计量的概念，而大量的运算则是落在计算随机变量的数字特征上，要求对数字特征的相关公式和性质能熟练掌握和运用．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QC54777K
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