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设P(x),Q(x),f(x)均为已知的连续函数y1,y2,y3是y"+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解,C1,C2为任意常数,则方程的通解为( ).
设P(x),Q(x),f(x)均为已知的连续函数y1,y2,y3是y"+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解,C1,C2为任意常数,则方程的通解为( ).
admin
2020-04-02
36
问题
设P(x),Q(x),f(x)均为已知的连续函数y
1
,y
2
,y
3
是y"+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解,C
1
,C
2
为任意常数,则方程的通解为( ).
选项
A、(C
1
-C
2
)y
1
+(C
1
+C
2
)y
2
+(1-C
2
)y
3
B、(C
1
-C
2
)y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(C
1
+C
2
)y
3
C、2C
1
y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
D、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1+C
1
一C
2
)y
3
答案
C
解析
因为2C
1
y
1
+(C
2
-C
1
)y
2
+(1-C
1
-C
2
)y
3
=C
1
(2y
1
-y
2
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
,又y
1
,y
2
,y
3
是y"+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的解,所以2y
1
-y
2
-y
3
,y
2
-y
3
分别为对应齐次方程y"+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线性无关的解.于是C
1
(2y
1
-y
2
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)为齐次方程3y"+P(x)y′+Q(x)y=0的通解.由二阶非齐次线性微分方程解的结构可知C
1
(2y
1
-y
2
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
3
为微分方程y"+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的通解.
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