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设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则
admin
2014-01-26
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问题
设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则
选项
A、当m>n时,必有行列式|AB|≠0.
B、当m>n时,必有行列式|AB|=0.
C、当n>m时,必有行列式|AB|≠0.
D、当n>m时,必有行列式|AB|=0.
答案
B
解析
[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零,而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件,问题转化为矩阵是否可逆,而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系,最终只要判断AB是否满秩即可.
[详解] 因为AB为m阶方阵,且
r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤min{m,n),
当m>n时,由上式可知,r(AB)≤n<m,即AB不是满秩的,故有行列式|AB|=0.故应选(B).
[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素,因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的.对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用:1.矩阵的秩(判断行列式是否为零);2.行(列)向量组的线性相关性;3.方程组解的判定;4.特征值和相似矩阵的性质等进行计算.
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考研数学二
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