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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则

admin2014-01-26  25
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则
选项 A、当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．   
B、当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．
C、当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．   
D、当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．
答案B
解析 [分析]  四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．
    [详解]  因为AB为m阶方阵，且
    r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，
    当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．
[评注]  本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．
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考研数学二

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