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设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定,求f(x)的极值.
设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定,求f(x)的极值.
admin
2014-03-21
78
问题
设函数y=f(x)由方程y
3
+xy
2
+x
2
y+6=0确定,求f(x)的极值.
选项
答案
这是隐函数求极值问题.先求y=f(x)的驻点.将方程对x求导得 3y
2
y
’
+y
2
+2xyy
’
+2xy+x
2
y
’
=0 ① [*] 代入y
3
十xy
2
+x
2
y=-6,得 -8x
3
+4x
3
-2x
3
=-6,x
3
=1,x=1. y=f(x)有唯一驻点x=1(相应地y=-2). 再将①式,即 (3y
2
+2xy+x
2
)y
’
=-y(y+2x) 在x=1(y=-2)对x求导得 (3y
2
+2xy+x
2
)|
(1,-2)
y
’’
(1)=-y(y
’
+2)|
(1,2)
=4 [*] 因此y=f(x)有唯一极值点x=1,是极小值点,极小值f(1)=-2.
解析
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考研数学一
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