已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

admin2018-12-29 66

问题已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=

(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

选项

答案由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。 (1)若k≠9，则r(B)=2，于是r(A)≤1，显然r(A)≥1，故r(A)=1。可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3—r(A)=2，矩阵B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0的通解为：x=k₁(1，2，3)^T+k₂(3，6，k)^T，k₁，k₂为任意常数。 (2)若k=9，则r(B)=1，从而1≤r(A)≤2。 ①若r(A)=2，则Ax=0的通解为：x=k₁(1，2，3)^T，k₁为任意常数。 ②若r(A)=1，则Ax=0的同解方程组为：ax₁+bx₂+cx₃=0，不妨设a≠0，则其通解为 X=[*]，k₁，k₂为任意常数。

解析

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考研数学一

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已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

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