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设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k
设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k
admin
2015-05-07
43
问题
设n阶实对称矩阵A满足A
2
=E,且秩r(A+E)=k
(Ⅰ)求二次型x
T
Ax的规范形;
(Ⅱ)证明B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
是正定矩阵,并求行列式|B|的值.
选项
答案
(Ⅰ)设λ为矩阵A的特征值,对应的特征向量为α,即Aα=λα,α≠0,则A
2
α=λ
2
α. 由于A
2
=E,从而(λ
2
-1)α=0.又因α≠0,故有λ
2
-1=0,解得λ=1或λ=-1. 因为A是实对称矩阵,所以必可对角化,且秩r(A+E)=k,于是 [*] 那么矩阵A的特征值为:1(k个),-1(n-k个). 故二次型x
T
Ax的规范形为[*] (Ⅱ)因为A2=E,故 B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
=3E+2A. 所以矩阵B的特征值是:5(k个),1(n-k个).由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵,因此B是正定矩阵,且|B|=5
k
.1
n-k
=5
k
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QY54777K
0
考研数学一
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