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设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。
设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。
admin
2018-04-15
42
问题
设向量组a
1
，a
2
线性无关，向量组a
1
+b，a
2
+b线性相关，证明：向量b能由向量组a
1
，a
2
线性表示。
选项
答案
因为a
1
，a
2
线性无关，a
1
+b，a
2
+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k
1
，k
2
，使 k
1
(a
1
+b)+k
2
(a
2
+b)=0，则有(k
1
+k
2
)b=-k
2
a
1
-k
2
a
2
。 又因为a
1
，a
2
线性无关，若k
1
a
1
+k
2
a
2
=0，则k
1
=k
2
=0，这与k
1
，k
2
不全为零矛盾，于是有 k
1
a
1
+k
2
a
2
≠0，(k
1
+k
2
)b≠0。 综上k
1
+k
2
≠0，因此由(k
1
+k
2
)b=-ka
1
-k
2
a
2
得 b=[*]a
2
，k
1
，k
2
∈R，k
2
+k
2
≠0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QYr4777K
0
考研数学一
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