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  3. 设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

admin2018-04-15  28
问题 设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。
选项
答案因为a1，a2线性无关，a1+b，a2+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k1，k2，使 k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，则有(k1+k2)b=-k2a1-k2a2。 又因为a1，a2线性无关，若k1a1+k2a2=0，则k1=k2=0，这与k1，k2不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a2≠0，(k1+k2)b≠0。 综上k1+k2≠0，因此由(k1+k2)b=-ka1-k2a2得 b=[*]a2，k1，k2∈R，k2+k2≠0。
解析
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考研数学一

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